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已知非齐次线性方程组 有3个线性无关的解. 证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2;
已知非齐次线性方程组 有3个线性无关的解. 证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2;
admin
2018-08-03
35
问题
已知非齐次线性方程组
有3个线性无关的解.
证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2;
选项
答案
设ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
是该方程组的3个线性无关的解,则由解的性质知α
1
=ξ
1
—ξ
2
,α
2
=ξ
1
—ξ
3
是对应齐次线性方程组Ax=0的两个解,且由 [α
1
α
2
]=[ξ
1
ξ
2
ξ
3
][*] 及ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
线性无关,知向量组α
1
,α
2
线性无关,故齐次线性方程组Ax=0的基础解系至少含2个向量,即4一r(A)≥2,得r(A)≤2,又显然有r(A)≥2(A中存在2阶非零子式一1,或由A的前2行线性无关),于是有r(A)=2.
解析
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考研数学一
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