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已知α1，α2，α3线性无关．α1+tα2，α2+2tα3，α3+4tα1线性相关．则实数t等于______．
已知α1，α2，α3线性无关．α1+tα2，α2+2tα3，α3+4tα1线性相关．则实数t等于______．
admin
2018-06-27
32
问题
已知α
1
，α
2
，α
3
线性无关．α
1
+tα
2
，α
2
+2tα
3
，α
3
+4tα
1
线性相关．则实数t等于______．
选项
答案
-1／2
解析
本题可以用定义做，但是表述比较哕嗦，用秩比较简单．证明α
1
+tα
2
，α
2
+2tα
3
，α
3
+4tα
1
线性相关就是要证明其秩小于3．
记矩阵A=(α
1
+tα
2
，α
2
+2tα
3
，α
3
+4tα
1
)．用矩阵分解，有
A=(α
1
，α
2
，α
3
)
记C=
由于α
1
，α
2
，α
3
线性无关，(α
1
，α
2
，α
3
)是列满秩的，于是根据矩阵秩的性质⑥，
r(α
1
+tα
2
，α
2
+2tα
3
，α
3
+4tα
2
)=r(A)=r(C)．
于是α
1
+tα
2
，α
2
+2tα
3
，α
3
+4tα
2
线性
相关
r(C)＜3
｜C｜=0．
求出｜c｜=1+8t
3
，于是得8t
3
=-1，t=-1／2．
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考研数学二
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