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  3. 设函数f(x)在(0，+∞)内连续，且对一切的x、t∈(0，+∞)满足条件：∫1xtf(u)du=t∫1x f(u)du +x∫1t f(u)du．求函数f(x)的表达式．

设函数f(x)在(0，+∞)内连续，且对一切的x、t∈(0，+∞)满足条件：∫1xtf(u)du=t∫1x f(u)du +x∫1t f(u)du．求函数f(x)的表达式．

admin2017-05-31  48
问题 设函数f(x)在(0，+∞)内连续，且对一切的x、t∈(0，+∞)满足条件：∫1xtf(u)du=t∫1x f(u)du +x∫1t f(u)du．求函数f(x)的表达式．
选项
答案由已知条件可知，等式两边关于变量t是可导的．于是，对等式两边关于t求导，得xf(xt)= ∫1xf(u)du+xf(t) ．在上式中，若t=1，得xf(x)= ∫1xf(u)du+xf(t)= ∫1xf(u)du+[*]显然，上式两边关于变量x也是可导的．于是，对等式两边关于x求导，得f(x)+ xf ’ (x)=[*]这是一个变量可分离的微分方程．两边同时对变量x积分，有[*]其中c为任意常数． [*]
解析 本题主要考查如何将一个积分方程化为一个微分方程，并用相应的方法求解微分方程的特解．
由于所给积分方程中，变量x、t不仅是任意的，而且是对称的，则先固定一个变量，对另一个变量求导，就可得到相应的微分方程．
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考研数学一

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