首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n矩阵,BT为B的转置矩阵.试证:BTAB为正定矩阵的充分必要条件是秩(B)=n.
设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n矩阵,BT为B的转置矩阵.试证:BTAB为正定矩阵的充分必要条件是秩(B)=n.
admin
2019-05-10
37
问题
设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n矩阵,B
T
为B的转置矩阵.试证:B
T
AB为正定矩阵的充分必要条件是秩(B)=n.
选项
答案
B
T
AB正定的充要条件是秩(B)=n,证法较多.注意到B
T
AB中含互为转置的矩阵B与B
T
,用定义证之较方便.方程组BX=0[*]秩(B)=n,这是用定义证明正定性的关键.也可用特征值法证之. 证 (1)必要性 证一 用齐次方程组只有零解证之.因B
T
AB正定,由定义知,对任意X≠0,X
T
(B
T
AB)X=(BX)
T
A(BX)>0,故必有BX≠0,即BX=0只有零解,故秩(B)=n. 证二 由B
T
AB正定知,∣B
T
AB∣≠0,则秩(B
T
AB)=n.又因n=秩(B
T
AB)≤秩(B)≤n,故秩(B)=n. (2)充分性 证一 用正定的定义证之.因(B
T
AB)
T
=B
T
A
T
B=B
T
A;,故B
T
AB为对称矩阵.(正定矩阵必是实对称矩阵,所以充分性首先必证明这一点.) 由秩(B)=n知,齐次线性方程组BX=0只有零解,于是任意X
0
≠0,恒有BX
0
≠0,又因A是正定矩阵,所以对BX
0
≠0,必有(BX
0
)
T
A(BX
0
)>0. 即对[*]X
0
≠0,恒有X
0
T
(B
T
AB)X
0
>0,故B
T
AB是正定矩阵. 证二 用特征值法证之.设λ是矩阵B
T
AB的任一特征值,α是属于特征值λ的特征向量, 即B
T
ABα=λα(α≠0),用α
T
左乘等式的两端,有(Bα)
T
A(Bα)=λα
T
α. 由于秩(B)=n,α≠0知,Bα≠0,又因A正定,从而有(Ba)
T
A(Ba)>0.于是 λα
T
α=(Ba)
T
A(Ba)>0. 而α
T
α=∣∣α∣∣
2
>0,故特征值λ>0.又 B
T
AB为实对称矩阵,故B
T
AB正定.
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/vLLRFFFM
0
考研数学二
相关试题推荐
用变量代换χ=lnt将方程+e2χy=0化为y关于t的方程,并求原方程的通解.
用配方法化下列二次型为标准形:f(χ1,χ2,χ3)=χ12+2χ22-5χ32+2χ1χ2-2χ1χ3+2χ2χ3.
设A是三阶实对称矩阵,且A2+2A=O,r(A)=2.(1)求A的全部特征值;(2)当k为何值时,A+kE为正定矩阵?
求函数f(χ)==(2-t)e-tdt的最大值与最小值.
求微分方程yy〞=y′2满足初始条件y(0)=y′(0)=1的特解.
设D为圆域χ2+y2≤χ,则I==_______.
曲线在t=1处的曲率k=___________.
[2018年]=__________。
[2018年]设函数z=z(x,y)由方程lnz+ez-1=xy确定,则=________.
[2017年]已知平面区域D={(x,y)∣x2+y2≤2y),计算二重积分(x+1)2dxdy.
随机试题
WhichofthefollowingthatareconcernedwithPresidentFranklinD.Rooseveltisnottrue?()
患者,女性,23岁,风湿性心脏病,二尖瓣狭窄病史5年,本次因气急、咳嗽、咯粉红色泡沫痰2小时,拟诊急性肺水肿入院。根据上述表现,估测其肺血管病变程度及右心功能状况属于
慢性肺心病急性发作最常见的诱因是
下列关于承包人承担的义务,叙述不正确的是()。
案例十八:某企业从事某项投资活动的年投资收益率为10%。现有两个投资方案如下:甲方案:第一年缴纳企业所得税100万元的概率为20%,纳税150万元的概率为50%,纳税180万元的概率为30%;第二年纳税120元的概率为40%,纳税160万元的概率为40%
某企业目前处于成熟发展阶段,公司目前的资产总额为10亿元,所有者权益总额为6亿元,其中股本2亿元,资本公积2亿元,负债总额为4亿元,公司未来计划筹集资本1500万元,所得税税率为25%,银行能提供的最大借款限额为500万元,假设股票和债券没有筹资限额。备
质量成本包括()。
下列句子有语病的一项是()。
根据行政诉讼法及有关司法解释的规定,裁定主要适用于()。
Inthemedicalprofession,technologyisadvancingsofastthatquestionsoflawandethicscannotbediscussedandansweredfas
最新回复
(
0
)