设0<a1<1,an+1=1n(2-an)+an,证明:数列{an}收敛,并求.

admin2021-03-10  78

问题 设0<a1<1,an+1=1n(2-an)+an,证明:数列{an}收敛,并求

选项

答案令f(x)=ln(2-x)+x,其中上x<2, 由f’(x)=[*]得x=1, 当x<1时,f’(x)>0;当1<x<2时,f’(x)<0, 即x=1为f(x)的最大值点,最大值为M=f(1)=1, 从而有an<1(n=1,2,…),即数列{an}有上界; 又当an<1时,2-an>1,从而1n(2-an)>0,于是an+1=1n(2-an)+an>an,即数列{an}单调递增,故数列{an)收敛,即[*]存在. 令[*],由an+1=1n(2-an)+an两边取极限得A=1n(2-A)+A,解得A=1.

解析
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