设数列{an)满足a1=a2=1，且an+1=an+an-1，n=2，3，…．证明当｜x｜＜1/2时，级数anxn-1收敛，并求其和函数及系数an．

admin2022-07-21 39

问题设数列{a_n)满足a₁=a₂=1，且a_n+1=a_n+a_n-1，n=2，3，…．证明当｜x｜＜1/2时，级数

a_nx^n-1收敛，并求其和函数及系数a_n．

选项

答案显然{a_n}是正项严格单调递增数列，且有a₃=2，a₄=a₂+a₃＜2a₃=2²，假设a_n＜2^n-2，则a_n+1=a_n+a_n-1＜2a_n=2^n-1，故由归纳法得a_n＜2^n-2于是当｜x｜＜1/2时，级数的通项｜a_nx^n-1｜＜[*](2x)^n-1．而级数[*](2x)^n-1在｜2x｜＜1，即｜x｜＜1/2时收敛，故由比较判别法知，级数[*]a_nx^n-1在｜x｜＜1/2时绝对收敛．又 [*] 移项后的原级数的和函数为 [*] 而[*]的和函数，则由幂级数展开式的唯一性，经比较系数得原级数的系数a_n=[*]

解析

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考研数学三

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设数列{an)满足a1=a2=1，且an+1=an+an-1，n=2，3，…．证明当｜x｜＜1/2时，级数anxn-1收敛，并求其和函数及系数an．

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