设y1=ex-e-xsin2x，y2=ex+e-xcos2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解，则该微分方程是________．

admin2022-07-21 25

问题设y₁=e^x-e^-xsin2x，y₂=e^x+e^-xcos2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解，则该微分方程是________．

选项

答案y’’+2y’+5y=8e^x

解析由解的性质知y₂-y₁=e^-x(cos2x+sin2x)是对应齐次微分方程的解，所以r=-1±2i是对应齐次微分方程的特征方程的根，故特征方程为(r+1)²+4=0，即r²+2r+5=0，于是所求方程形如
y’’+2y’+5y=f(x)
又因为y₁=e^x-e^-xsin2x为其特解，代入方程后计算得f(x)=8e^x，故所求微分方程为
y’’+2y’+5y=8e^x

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