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  3. 设f(x)在(a，b)上有定义，c∈(a，b)，又f(x)在(a，b)＼｜c｜连续，c为f(x)的第一类间断点．问f(x)在(a，b)是否存在原函数?为什么?

设f(x)在(a，b)上有定义，c∈(a，b)，又f(x)在(a，b)＼｜c｜连续，c为f(x)的第一类间断点．问f(x)在(a，b)是否存在原函数?为什么?

admin2017-08-28  28
问题 设f(x)在(a，b)上有定义，c∈(a，b)，又f(x)在(a，b)＼｜c｜连续，c为f(x)的第一类间断点．问f(x)在(a，b)是否存在原函数?为什么?
选项
答案设F(x)是f(x)在(a，b)的原函数．考察 [*] 于是F′+(c)=[*]f(x)，F′－=[*]f(x)， 由于x=c是f(x)的第一类间断点，故[*]存在，但不相等，即F′+(c)≠F′－(c)． 或 [*]f(x)≠f(c)， 即 F′(c)≠f(c)． 这都与F(x)是f(x)在(a，b)的原函数相矛盾．因此f(x)在(a，b)不存在原函数．
解析 f(x)在(a，c)与(c，b)上连续，分别存在原函数，于是关键是看x=c处的情况．
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考研数学一

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