2. 考研
  3. 设A，B是n阶可逆矩阵，满足AB=A+B．则下列关系中不正确的是 ( )

设A，B是n阶可逆矩阵，满足AB=A+B．则下列关系中不正确的是 ( )

admin2018-03-30  32
问题 设A，B是n阶可逆矩阵，满足AB=A+B．则下列关系中不正确的是    (    )
选项 A、｜A+B｜=｜A｜｜B｜．
B、(AB)-1=A-1B-1．
C、(A—E)x=0只有零解．
D、B—E不可逆．
答案D
解析 因A，B满足AB=A+B，两边取行列式，显然有｜A+B｜=｜AB｜=｜A｜｜B｜，A正确．
    由AB=A+B，
    移项，提公因子得
    AB—A=A(B—E)一B，A(B—E)=B—E+E，(A—E)(B—E)=E．
    故A—E，B—E都是可逆矩阵，且互为逆矩阵，从而知方程组(A—E)x=0只有零解，(C)正确．
    B—E不可逆是错误的，(D)不正确．又因
    (A—E)(B—E)=E，
    故    (B—E)(A—E)=E，
    从而有BA一A—B+E=E，BA=A+B，得AB=BA，则(AB)-1=(BA)-1=(BA)-1=A-1B-1，故(B)正确．
    因此(A)，(B)，(C)是正确的，应选D．
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考研数学三

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