[2009年2]e-xsinnx dx=__________.

admin2019-04-05  32

问题 [2009年2]e-xsinnx dx=__________.

选项

答案先用分部积分法求出定积分,再求极限. 解一令In=∫e-xsinxdx=-∫sinx de-x=-e-xsinnx+n∫e-x cosnx dx =-e-xsinnx-n∫cosnx de-x=一e-xsinnx一ne-xcosnx一n2∫e-xsinnxdx =一e-xsinnx一ne-xcosnx一n2In, 故In=[*]e-x,所以 ∫01e-xsinnxdx=一[*] 因而[*]=0. 解二 因e-x在[0,1]上连续,故e-x在[0,1]上有界.事实上,在[0,1]上有e-x≤1,于是 0≤∣∫01e-xsinnx dx∣≤1.∫01sindx=一[*] 由夹逼准则得 [*]∫01e-xsinndx∣=0,从而[*]∫01e-xsinnx dx=0.

解析
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