2. 考研
  3. (00年)函数f(x)在[0，+∞]上可导，f(0)=1，且满足等式 (1)求导数f’(x)； (2)证明：当x≥0时，成立不等式：e-x≤f(x)≤1．

(00年)函数f(x)在[0，+∞]上可导，f(0)=1，且满足等式 (1)求导数f’(x)； (2)证明：当x≥0时，成立不等式：e-x≤f(x)≤1．

admin2018-07-27  39
问题 (00年)函数f(x)在[0，+∞]上可导，f(0)=1，且满足等式

(1)求导数f’(x)；
(2)证明：当x≥0时，成立不等式：e-x≤f(x)≤1．
选项
答案(1)由题没知 (x+1)f’(x)+(x+1)f(x)一∫0xf(t)dt=0 上式两边对x求导，得(x+1)f"(x)=一(x+2)f’(x) 设u=f’(x)，则有[*] 解得[*] 由f(0)=1，及f’(0)+f(0)=0，知f’(0)=一1，从而C=-1． 因此[*] (2)当x≥0时，f’(x)＜0，即f(x)单调减少，又f(0)=1，所以f(x)≤f(0)=1 设 φ(x)=f(x)一e-x 则 φ(0)=0。φ’(x)≥0，即φ(x)单调增加，因而 φ(x)≥φ(0)=0，即有f(x)≥e-x 综上所述，当x≥0时，成立不等式e-x≤f(x)≤1
解析
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考研数学二

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