设f(x)在(一1，1)内二阶连续可导，且f’’(x)≠0．证明：对(一1，1)内任一点x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使得f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x]；

admin2019-02-26 31

问题设f(x)在(一1，1)内二阶连续可导，且f^’’(x)≠0．证明：
对(一1，1)内任一点x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使得f(x)=f(0)+xf^’[θ(x)x]；

选项

答案对任意x∈(一1，1)，根据微分中值定理，得 f(x)=f(0)+xf^’[θ(x)x]，其中0＜θ(x)＜1．因为f^’’(x)∈C(－1，1)且f^’’(x)≠0，所以f^’’(x)在(一1，1)内保号，不妨设f^’’(x)＞0，则f^’(x)在(一1，1)内单调增加，又由于x≠0，所以θ(x)是唯一的．

解析

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考研数学一

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