设f(χ)在[a，b]连续，且χ∈[a，b]，总y∈[a，b]，使得｜f(y)｜≤｜f(χ)｜．试证：ξ∈[a，b]，使得f(ξ)＝0．

admin2019-06-28 31

问题设f(χ)在[a，b]连续，且

χ∈[a，b]，总

y∈[a，b]，使得｜f(y)｜≤

｜f(χ)｜．试证：

ξ∈[a，b]，使得f(ξ)＝0．

选项

答案若在[a，b]上f(χ)处处不为零，则f(χ)在[a，b]上或恒正或恒负．不失一般性，设f(χ)＞0，χ∈[a，b]，则[*]χ₀∈[a，b]，f(χ₀)＝[*]f(χ)＞0．由题设，对此χ，[*]y∈[a，b]，使得 f(y)＝｜y(y)｜≤[*]f(χ₀)＜f(χ₀) 与f(χ₀)是最小值矛盾．因此，[*]ξ∈[a，b]，使f(ξ)＝0．

解析

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考研数学二

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23．证明：若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则至少存在一点η∈[a，b]，使得∫abf(x)dx=f(η)(b一a)；
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