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  3. 已知矩阵相似． (Ⅰ)求x，y，z的值； (Ⅱ)求可逆矩阵P，使P-1AP=B．

已知矩阵相似． (Ⅰ)求x，y，z的值； (Ⅱ)求可逆矩阵P，使P-1AP=B．

admin2019-08-21  35
问题 已知矩阵相似．
(Ⅰ)求x，y，z的值；
(Ⅱ)求可逆矩阵P，使P-1AP=B．
选项
答案(Ⅰ)实对称矩阵A的特征多项式为 ｜λE—A｜=(λ—1)2(λ一3)， 故A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=3．于是，A与对角矩阵[*]相似，又因为A与B相似，故B也与对角矩阵[*]相似，因此，B的特征值为λ1=λ2=1，λ3=3，且R(E一B)=1，又因为x+5=λ1+λ2+λ3=5，得x=0． 由 [*] 得y=-2，z=3． (Ⅱ)经计算可知，将实对称矩阵A化为对角矩阵的相似变换矩阵，可取为[*]即 [*] 把矩阵B化为对角矩阵的相似变换矩阵，可取为[*]即 [*]
解析 将A，B分别与同一个对角阵相似，再由相似的传递性，可得A，B相似．
错例分析:许多考生直接求可逆矩阵P，导致做题思路出问题．
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考研数学二

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