2. 考研
  3. 设向量组α1＝(1，0，1)T，α2＝(0，1，1)T，α3＝(1，3，5)T不能由向量组β1＝(1，1，1)T，β2＝(1，2，3)T，β3＝(3，4，a)T线性表示． (1)求a的值． (2)将β1，β2，β3用α1，α2，α3线性表示

设向量组α1＝(1，0，1)T，α2＝(0，1，1)T，α3＝(1，3，5)T不能由向量组β1＝(1，1，1)T，β2＝(1，2，3)T，β3＝(3，4，a)T线性表示． (1)求a的值． (2)将β1，β2，β3用α1，α2，α3线性表示

admin2014-01-26  37
问题 设向量组α1＝(1，0，1)T，α2＝(0，1，1)T，α3＝(1，3，5)T不能由向量组β1＝(1，1，1)T，β2＝(1，2，3)T，β3＝(3，4，a)T线性表示．
    (1)求a的值．
    (2)将β1，β2，β3用α1，α2，α3线性表示．
选项
答案(1)易知向量组α1，α2，α3线性无关，又向量组α1，α2，α3不能由向量组β1，β2，β3线性表示．故β1，β2，β3线性相关(否则，α1，α2，α3均可由向量组β1，β2，β3线性表示)．于是，行列式｜β1，β2，β3｜＝0，即[*] 解之得a＝5． (2)对矩阵A＝(α1，α2，α3，β1，β2，β3)作初等行变换得， [*] 故 β1＝2α1＋4α2－α3，β2＝α1＋2α2，β3＝5α1＋10α2—2α3．
解析 [分析]  由向量组之间的线性表示定理可知β1，β2，β3一定线性相关，从而可求得a．求一个向量与另一个向量组之间的线性表示实际上就是求非齐次线性方程组的解．
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考研数学二

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