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设A为n阶非零矩阵,且A2=A,r(A)=r(0<r<n),求|5E+A|.
设A为n阶非零矩阵,且A2=A,r(A)=r(0<r<n),求|5E+A|.
admin
2021-11-25
21
问题
设A为n阶非零矩阵,且A
2
=A,r(A)=r(0<r<n),求|5E+A|.
选项
答案
因为A
2
=A→A(E-A)=O→r(A)+r(E-A)=n→A,可以对角化。 由A
2
=A,得|A|·|E-A|=0,所以矩阵A的特征值为λ=0或1 因为r(A)=r且0<r<n,所以0和1都为A的特征值,且λ=1为r重特征值,λ=0为n-r重特征值。 所以5E+A的特征值为λ=6(r重),λ=5(n-r重),故|5E+A|=5
n-r
×6
r
.
解析
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考研数学二
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