设A是m×n矩阵,Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组,则下面结论正确的是( )

admin2017-12-12  58

问题 设A是m×n矩阵,Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组,则下面结论正确的是(    )

选项 A、若Ax=0仅有零解,则Ax=b有唯一解.
B、若Ax=0有非零解,则Ax=b有无穷多个解.
C、若Ax=b有无穷多个解,则Ax=0仅有零解.
D、若Ax=b有无穷多个解,则Ax=0有非零解.

答案D

解析 本题考查非齐次线性方程组Ax=b解的存在性和与其对应的齐次线性方程组Ax=0解的关系.注意到Ax=0有解,而Ax=b不一定有解.对于A、B两种情形,由题设条件不能判定方程组Ax=b的系数矩阵与增广矩阵的秩是否相等,无法确定方程组Ax=b是否有解.又若Ax=b有无穷多个解,则其解应为Ax=0的基础解系的线性组合与Ax=b的一个特解之和,若Ax=b有无穷多个解,则r(A)=r(A,b)<n,而当r(A)<n时,方程组Ax=0有非零解,所以C不正确,故选D.
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