在上半平面上求一条上凹曲线,其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.

admin2018-05-23  30

问题 在上半平面上求一条上凹曲线,其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.

选项

答案设所求曲线为y=y(x),该曲线在点P(x,y)的法线方程为 Y—y=[*](X—x)(y≠0) 令Y=0,得X=x+yy,该点到x轴法线段PQ的长度为[*], 由题意得[*],即yy=1+y’2. 令y=p,则y’’=[*], 两边积分得y=[*],由y(1)=1,y(1)=0得C1=1,又y>0,所以y=[*], 变量分离得[*]=dx,两边积分得ln(y+[*])=x+C2,由y(1)=1得C2=一1, [*]

解析
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