2. 考研
  3. 设有一半径为R长度为l的圆柱体，平放在深度为2R的水池中(圆柱体的侧面与水面相切)．设圆柱体的比重为ρ(ρ＞1)，现将圆柱体从水中移出水面，问需做多少功?

设有一半径为R长度为l的圆柱体，平放在深度为2R的水池中(圆柱体的侧面与水面相切)．设圆柱体的比重为ρ(ρ＞1)，现将圆柱体从水中移出水面，问需做多少功?

admin2016-10-26  41
问题 设有一半径为R长度为l的圆柱体，平放在深度为2R的水池中(圆柱体的侧面与水面相切)．设圆柱体的比重为ρ(ρ＞1)，现将圆柱体从水中移出水面，问需做多少功?
选项
答案任取小区间[x，x+dx][*][－R，R]相应的柱体薄片，其体积为 2yldx=2l[*]dx． 移至水面时薄片移动的距离为R－x，所受的力(重力与浮力之差)为(ρ－1)2l[*]dx，因而移至水面时做的功为 (ρ－1)2l(R－x)[*]dx． 整个移出水面时，此薄片离水面距离为R+x，将薄片从水面移到此距离时所做的功为ρ(R+x)2l.[*]dx，于是对薄片做的功为 dW=2l[(ρ－1)(R－x)+ρ(R+x)][*]dx =2l[(2ρ－1)R+x][*]dx． 因此，所求的功W=[*]dx+0 =2l(2ρ－1)R.[*]R2=l(2ρ－1)πR3．
解析 首先建立坐标系，取x轴垂直水平面并过球心，方向向上，原点为球心，如图3．32所示．然后用微元法，考察微元上的作用力．注意，在水里时受重力与浮力的作用，在水面上时只受重力的作用．
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考研数学一

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