设为正定矩阵,其中A,B分别为m阶,n阶对称矩阵,C为m×n矩阵. 利用第一问的结果判断矩阵B-CTA-1C是否为正定矩阵,并证明你的结论.

admin2021-11-09  68

问题为正定矩阵,其中A,B分别为m阶,n阶对称矩阵,C为m×n矩阵.
利用第一问的结果判断矩阵B-CTA-1C是否为正定矩阵,并证明你的结论.

选项

答案矩阵B-CTA-1C是正定矩阵. 由第一问的结果可知,矩阵D合同于矩阵 [*] 又D为正定矩阵,可知矩阵M为正定矩阵. 因矩阵M为对称矩阵,故B-CTA-1C为对称矩阵.对x=(0,0,…,0)T及任意的y=(y1,y2,…,yn)T≠0,有 [*] 即yT(B-CTA-1C)y>0,故B-CTA-1C为正定矩阵.

解析
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