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[2006年] 已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解. (I)证明方程组系数矩阵A的秩(A)=2;(Ⅱ)求a,b的值及方程组的通解.
[2006年] 已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解. (I)证明方程组系数矩阵A的秩(A)=2;(Ⅱ)求a,b的值及方程组的通解.
admin
2019-05-10
48
问题
[2006年] 已知非齐次线性方程组
有3个线性无关的解.
(I)证明方程组系数矩阵A的秩(A)=2;(Ⅱ)求a,b的值及方程组的通解.
选项
答案
由非齐次线性方程组AX=b中线性无关的解得到相应的齐次线性方程组的线性无关的解,从而得到系数矩阵的秩的信息,再利用秩的定义可证(I). 利用(I)的结果即可求得a,b,进而可求解方程组. (I)证一 由题设有n一秩(A)+1≥3,即5一秩(A)≥3,故秩(A)≤2.又A中有一个二阶子式Δ
2
=[*]≠0,于是秩(A)≥2.综上所述,可知秩(A)=2. 证二 设α
1
,α
2
,α
3
为所给方程组AX=b的3个线性无关的解,则α
1
一α
2
,α
2
一α
3
为对应的齐次方程AX=0的两个线性无关的解,因而n一秩(A)≥2,即4一秩(A)≥2,故秩(A)≤2.又Δ
2
≠0,故秩(A)≥2,所以秩(A)=2. (Ⅱ)对增广矩阵施以初等行变换,有 [*] 因秩(A)=2,故4—2a=0,4a+b—5=0,联立两方程解得a=2,b=一3,此时有 [*] 由基础解系和特解的简便求法即得基础解系为α
1
=[一2,1,1,0]
T
,α
2
=[4,一5,0,1]
T
, 特解η=[2,一3,0,0]
T
,故其通解为x=k
1
α
1
+k
2
α
2
+η,其中k
1
,k
2
为任意常数.
解析
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