已知β可用α1,α2，…，αs线性表示，但不可用α1,α2，…，αs-1线性表示.证明 (1)αs不可用α1,α2，…，αs-1线性表示； (2)αs可用α1,α2，…，αs-1，β线性表示．

admin2017-10-21 19

问题已知β可用α₁,α₂，…，α_s线性表示，但不可用α₁,α₂，…，α_s-1线性表示.证明
(1)α_s不可用α₁,α₂，…，α_s-1线性表示；
(2)α_s可用α₁,α₂，…，α_s-1，β线性表示．

选项

答案用秩说明，条件说明， r(α₁,α₂，…，α_s，β)=r(α₁,α₂，…，α_s)，r(α₁,α₂，…，α_s-1，β)=r(α₁,α₂，…，α_s-1)+1 于是有 r(α₁,α₂，…，α_s),r(α₁,α₂，…，α_s，β)≥r(α₁,α₂，…，α_s-1，β) r(α₁,α₂，…，α_s-1)+1≥r(α₁,α₂，…，α_s)从而其中两个“≥”号都为等号．于是 r(α₁,α₂，…，α_s-1)+1=r(α₁,α₂，…，α_s) 因此，α_s不可用α₁,α₂，…，α_s-1线性表示． r(α₁,α₂，…，α_s，β)=r(α₁,α₂，…，α_s-1，β)，因此，α_s可用α₁,α₂，…，α_s-1，β线性表示．

解析

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考研数学三

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已知β可用α1,α2，…，αs线性表示，但不可用α1,α2，…，αs-1线性表示.证明 (1)αs不可用α1,α2，…，αs-1线性表示； (2)αs可用α1,α2，…，αs-1，β线性表示．

考研数学三

设xy=xf(x)+yg(z)，且xf’(z)+yg’(z)≠0，其中z=z(x，y)是z，y的函数．证明：

设二次型f(x1，x2，x3)=(a一1)x12+(a一1)x22+2x32+21x2(a＞0)的秩为2．(1)求a；(2)用正交变换法化二次型为标准形．

用正交变换法化二次型f(x1+x2+x3)=x12+x22+x32—4x1x2—4x1x3—4x2x3为标准二次型．

设，则α1，α2，α3经过施密特正交规范化后的向量组为

设A=有三个线性无关的特征向量，求x，y满足的条件．

四元非齐次线性方程组AX=b有三个解向量α1，α2，α3且r(A)=3，设，求方程组AX=b的通解．

设A为三阶矩阵，A的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=3，其对应的线性无关的特征向量分别为，求Anβ．

用概率论方法证明：

设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1，a2x2，a3x3)2+(b1x1，b2x2，b3x3)2，记若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22。

已知，二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2．求正交变换x=Qy将f化为标准形。

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