已知,二次型f(x1,x2,x3)=xT(ATA)x的秩为2. 求正交变换x=Qy将f化为标准形。

admin2015-09-14  37

问题 已知,二次型f(x1,x2,x3)=xT(ATA)x的秩为2.
求正交变换x=Qy将f化为标准形。

选项

答案[*] 于是得ATA的特征值为λ1=2,λ2=6,λ3=0. 对于λ1=2,由求方程组(2E—ATA)x=0的一个非零解,可得属于λ1=2的一个单位特征向量[*](1,一1,0)T;对于λ2=6,由求方程组(6E—ATA)x=0的一个非零解, [*]

解析 用正交变换化二次型成标准形,从矩阵角度讲,就是用正交矩阵化实对称矩阵成对角矩阵。r(ATA)=r(A)可由齐次线性方程组(ATA)x=0与Ax=0同解、从而两个方程组的系数矩阵的秩相等而得到(这样的题目本章前面有)。求矩阵ATA的秩,是利用初等变换将ATA化成阶梯形来求其秩的,如果由ATA的秩为2,ATA的前2行线性无关,就认为ATTA的第3行就应该为零行,则是错误的,正确的做法是化成阶梯形。
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