设A是3阶矩阵,α1,α2,α3是3维列向量,α1≠0,满足Aα1=2α1,Aα2=α1+2α2,Aα3=α2+2α3. 证明α1,α2,α3线性无关;

admin2021-07-27  35

问题 设A是3阶矩阵,α1,α2,α3是3维列向量,α1≠0,满足Aα1=2α1,Aα21+2α2,Aα32+2α3
证明α1,α2,α3线性无关;

选项

答案由题设条件,得(A-2E)α1=0,(A-2E)α21,(A-2E)α32.设存在常数k1,k2,k3,使k1α1+k2α2+k3α3=0.① ①式两端左乘A-2E,得k2α1+k3α2=0;② ②式两端左乘A-2E,得k3α1=0. 因α1≠0,故k3=0,代回②式,得k2=0,代回①式得k1=0.故k1α1+k2α2+k3α3=0→k1=k2=k3=0,得证α1,α2,α3线性无关.

解析
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