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设向量组(Ⅰ)可以由向量组(Ⅱ)线性表示,且R(Ⅰ)=R(Ⅱ),证明:向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价。
设向量组(Ⅰ)可以由向量组(Ⅱ)线性表示,且R(Ⅰ)=R(Ⅱ),证明:向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价。
admin
2018-01-26
24
问题
设向量组(Ⅰ)可以由向量组(Ⅱ)线性表示,且R(Ⅰ)=R(Ⅱ),证明:向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价。
选项
答案
设R(Ⅰ)=R(Ⅱ)=r,且α
1
,α
2
,…,α
r
与β
1
,β
2
,…,β
r
分别为向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)的极大线性无关组。由于向量组(Ⅰ)可以由(Ⅱ)线性表示,故α
1
,α
2
,…,α
r
可以由β
1
,β
2
,…,β
r
线性表示。因此, R(α
1
,α
2
,…,α
r
,β
1
,β
2
,…,β
r
)=R(β
1
,β
2
,…,β
r
)=r。 又α
1
,α
2
,…,α
r
线性无关,所以α
1
,α
2
,…,α
r
是向量组α
1
,α
2
,…,α
r
,β
1
,β
2
,…,β
r
的极大线性无关组,从而β
1
,β
2
,…,β
r
可以由α
1
,α
2
,…,α
r
线性表示,于是向量组(Ⅱ)可以由α
1
,α
2
,…,α
r
线性表示,所以向量组(Ⅱ)可以由(Ⅰ)线性表示。又已知向量组(Ⅰ)可以由(Ⅱ)线性表示,所以向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价。
解析
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考研数学一
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