设函数f(x)在区间[a,b]上连续,且在(a,b)内有f’(x)>0.证明:在(a,b)内存在唯一的ξ,使曲线y=f(x)与两直线y=f(ξ),x=a所围平面图形面积S1是曲线y=f(x)与两直线y=f(ξ),x=b所围平面图形面积S2的3倍.

admin2015-09-10  43

问题 设函数f(x)在区间[a,b]上连续,且在(a,b)内有f’(x)>0.证明:在(a,b)内存在唯一的ξ,使曲线y=f(x)与两直线y=f(ξ),x=a所围平面图形面积S1是曲线y=f(x)与两直线y=f(ξ),x=b所围平面图形面积S2的3倍.

选项

答案令[*] 其中x∈[a,b],显然F(x)在[a,b]上连续.又由f’(x)>0知 f(a)<f(x)<f(b) x∈(a,b) 于是 [*] 由连续函数的介值定理知,至少存在一点ξ∈(a,b),使F(ξ)=0, 即[*] ξ的唯一性可由F(x)的单调性得到 F’(x)=f(x)+f’(x)(x一a)一f(x)一3[-f(x)+f(x)一f’(x)(b一x)]=f’(x)[x—a+3(b—x)]>0 所以,F(x)在[a,b]上单调增加,故在(a,b)上只有一个ξ,使F(ξ)=0,即S1=3S2

解析
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