已知函数f(x，y)满足35(x，y)＝2(y+1)ex，36(x，0)＝(x＋1) ex，f(0，y)＝y2＋2y，求f(x，y)的极值．

admin2021-01-19 31

问题已知函数f(x，y)满足

35(x，y)＝2(y+1)e^x，

36(x，0)＝(x＋1) e^x，f(0，y)＝y²＋2y，求f(x，y)的极值．

选项

答案由[*]＝2(y＋1)e^x，得[*]＝(y+1)²e^x＋φ(x)．因为[*](x，0)＝(x＋1)e^x，所以e^x＋φ(x)＝(x＋1)e^x 得φ(x)＝xe^x，从而[*]＝(y＋1)²e^x＋xe^x．对x积分得f(x，y)=(y+1)²e^x＋(x一1)e^x＋ψ(y)，因为f(0，y)＝y²＋2y，所以ψ(y)＝0，从而 f(x，y)＝(x＋y²＋2y)e^x．于是[*]＝(2y＋2)e^x，[*]＝(x＋y²＋2y＋2)e^x，[*]＝2e^x．令[*]＝0，[*]＝0，得驻点(0，一1)，所以 A=[*](0，一1)=1，B＝[*](0，一1)＝0，C＝[*](0，一1)=2．由于AC—B²＞0，A＞0，所以极小值为f(0，一1)＝－1．

解析

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