n阶矩阵A和B具有相同的特征值是A和B相似的( )

admin2019-05-15 18

问题 n阶矩阵A和B具有相同的特征值是A和B相似的( )

选项 A、充分必要条件
B、必要而非充分条件
C、充分而非必要条件
D、既非充分也非必要条件

答案B

解析由A～B，即存在可逆矩阵P，使P^-1AP＝B，故
｜λE－B｜＝｜λE－P^-1AP｜＝｜P^-1(λE－A)P｜
＝｜P^-1｜｜λE－A｜｜P｜＝｜λE－A｜，
即A与B有相同的特征值．
但当A，B有相同特征值时，A与B不一定相似，例如

虽然A，B有相同的特征值λ₁＝λ₂＝0，但由于r(A)≠r(B)，A，B不可能相似．
所以，相似的必要条件是A，B有相同的特征值．所以应选B．

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