2. 考研
  3. 设A为n阶可逆矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵P=其中A*是A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵． (Ⅰ)计算并化简PQ； (Ⅱ)证明矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b．

设A为n阶可逆矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵P=其中A*是A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵． (Ⅰ)计算并化简PQ； (Ⅱ)证明矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b．

admin2019-03-21  25
问题 设A为n阶可逆矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵P=其中A*是A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵．
(Ⅰ)计算并化简PQ；
(Ⅱ)证明矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b．
选项
答案(Ⅰ)由AA*=A*A=｜A｜E 及A*=｜A｜A-1有 [*] (Ⅱ)用拉普拉斯展开式及行列式乘法公式，有 [*] =｜A｜2(b-αTA-1α)． 因为矩阵A可逆，行列式｜A｜≠0，故｜Q｜=｜A｜(b-αTA-1α)． 由此可知，Q可逆的充分必要条件是b-αTA-1α≠0，即αTA-1α≠b．
解析
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考研数学二

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