设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,∫abf(x)dx=0.证明: 存在ξ∈(a,b),使得f’’(ξ)=f(ξ);

admin2018-05-25  36

问题 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,∫abf(x)dx=0.证明:
存在ξ∈(a,b),使得f’’(ξ)=f(ξ);

选项

答案令φ(x)=e-x[f’(x)+f(x)],φ(ξ1)=φ(ξ2)=0,由罗尔定理,存在ξ∈(ξ1,ξ2)[*] (a,b),使得φ’(ξ)=0,而φ’(x)=e-x[f’’(x)-f(x)]且e-x≠0,所以f’’(ξ)=f(ξ).

解析
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