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已知A,B为3阶矩阵,其中A可逆,满足2A-1B=B-4E。 (Ⅰ)证明A-2E可逆; (Ⅱ)如果B=,求矩阵A。
已知A,B为3阶矩阵,其中A可逆,满足2A-1B=B-4E。 (Ⅰ)证明A-2E可逆; (Ⅱ)如果B=,求矩阵A。
admin
2018-01-26
24
问题
已知A,B为3阶矩阵,其中A可逆,满足2A
-1
B=B-4E。
(Ⅰ)证明A-2E可逆;
(Ⅱ)如果B=
,求矩阵A。
选项
答案
(Ⅰ)由2A
-1
B=B-4E,得2B=AB-4,4,从而 (A-2E)B=4A。 等式两端取行列式有|A-2E||B|=|4A|≠0,故|A-2E|≠0,因此A-2E可逆。 (Ⅱ)由2A
-1
B=B-4E,得 A(B-4E)=2B。 因此有(B
T
-4E)A
T
=2B
T
,用初等变换法求解此矩阵方程 (B
T
-4E:2B
T
) [*] 于是 A
T
=[*] 那么,A=[*]
解析
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考研数学一
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