根据k的不同的取值情况,讨论方程x3-3x+k=0实根的个数。

admin2017-11-30  43

问题 根据k的不同的取值情况,讨论方程x3-3x+k=0实根的个数。

选项

答案令 f(x)=x3-3x+k,x∈R, 令f’(x)=3x2-3=0,解得驻点x=-1,x=1,函数的单增区间为(-∞,-1),(1,+∞),单减区间为[-1,1],因此该函数至多有三个根。 因为函数f(x)连续,根据零点定理, f(-∞)<0,f(-1)=2+k,f(1)=k-2,f(+∞)>0。 k<-2时,f(-1)<0,f(1)<0,函数在(1,+∞)上存在唯一一个根; -2<k<2时,f(-1)>0,f(1)<0,函数在每个单调区间有一根,共有三个根; k>2时,f(-1)>0,f(1)>0,函数在(-∞,-1)存在唯一一个根; k=-2时,f(-1)=0,f(1)<0,方程在x=-1处和(1,+∞)内各有一个根,共两个根; k=2时,f(-1)>0,f(1)=0,方程在x=1处和(-∞,-1)内各有一个根,共两个根。 综上所述,k<-2或k>2,方程有且仅有一个根;-2<k<2,方程有三个根;k=±2,方程有两个根。

解析
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