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设函数f(x)在[a,b]上有连续导数,在(a,b)内二阶可导,且f(A)=f(b)=0,∫abf(x)dx=0.证明: 在(a,b)内至少存在一点η,且η≠ξ,使得f"(η)=f(η).
设函数f(x)在[a,b]上有连续导数,在(a,b)内二阶可导,且f(A)=f(b)=0,∫abf(x)dx=0.证明: 在(a,b)内至少存在一点η,且η≠ξ,使得f"(η)=f(η).
admin
2015-07-22
29
问题
设函数f(x)在[a,b]上有连续导数,在(a,b)内二阶可导,且f(A)=f(b)=0,∫
a
b
f(x)dx=0.证明:
在(a,b)内至少存在一点η,且η≠ξ,使得f"(η)=f(η).
选项
答案
设F(x)=e
x
[f’(x)一f(x)],则F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且F(ξ
1
)=F(ξ
2
)=0,则 F’(x)=e
x
[f"(x)一f’(x)]+e
x
[f’(x)一f(x)]=e
x
[f"(x)一f(x)].对F(x)在区间[ξ
1
,ξ
2
]上应用罗尔定理,即存在η∈(ξ
1
,ξ
2
),使得F’(η)=0,故有 f’(η)=f(η),且η≠ξ
i
(i=1,2).
解析
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考研数学三
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