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  3. 欧拉方程x2y2+xy’-4y=0满足条件y（1）=1，y’（1）=2的解为y=________。

欧拉方程x2y2+xy’-4y=0满足条件y（1）=1，y’（1）=2的解为y=________。

admin2022-09-08  12
问题 欧拉方程x2y2+xy’-4y=0满足条件y（1）=1，y’（1）=2的解为y=________。
选项
答案x2
解析 作变换x=et，则y’(t)=y’(x)et=xy’(x)，
y”(t)=x’(t)y’(x)+xy”(x)x’(t)=xy’(x)+x2y”(x)=y’(t)+x2y”(x)，
则原方程可转化为y”(t)-y’(t)+y’(t)-4y(t)=0，即y”(t)-4y(t)=0，
其特征方程为λ2-4=0，特征根为λ1=2，λ2=-2，
则该方程的通解为y=C1e2t+C2e-2t=C1x2+C2x-2，又y(1)=1，y’(1)=2，
故C1=1，C2=0，所以y=x2．
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考研数学一

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