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设数列{un},{vn}满足m<<M,其中m,M是大于零的常数,vn≠0(n=1,2…).考虑以下命题: ①若级数un发散,则vn必发散; ②若级数vn收敛,则un必收敛; ③级数un与vn同时收敛或发散; ④当级数vn=1
设数列{un},{vn}满足m<<M,其中m,M是大于零的常数,vn≠0(n=1,2…).考虑以下命题: ①若级数un发散,则vn必发散; ②若级数vn收敛,则un必收敛; ③级数un与vn同时收敛或发散; ④当级数vn=1
admin
2016-01-23
23
问题
设数列{u
n
},{v
n
}满足m<
<M,其中m,M是大于零的常数,v
n
≠0(n=1,2…).考虑以下命题:
①若级数
u
n
发散,则
v
n
必发散;
②若级数
v
n
收敛,则
u
n
必收敛;
③级数
u
n
与
v
n
同时收敛或发散;
④当级数
v
n
=1时,级数
u
n
必收敛,且其和必介于m与M之间,其中正确的个数是
选项
A、1
B、2
C、3
D、4
答案
D
解析
本题考查抽象型数项级数的收敛性问题,可由题设条件直接分析推导,也可举反例排除,此处用前者.
解:由题设条件m<
<M,m>0,可知u
n
与v
n
同号,不妨设u
n
>0,v
n
>0,于是有
mu
n
<u
n
,u
n
<Mv
n
根据正项级数比较判别法可知,若级数
发散,则级数
必发散,从而级数
发散;若级数
收敛,则级数
必收敛,从而级数
也收敛.同样,若级数
收敛,则
收敛,从而
收敛;若级数
发散,则
发散,从而级数
发散,可见①,②,③正确.
当级数
=1时,由条件m<
<M得mv
n
<u
n
<Mv
n
(不妨设u
n
,v
n
>0),进而得
由于级数
收敛时,
必收敛,故④也正确.
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/gfPRFFFM
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考研数学一
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