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设二维非零向量a不是二阶方阵A的特征向量。 若A2a+Aa-6a=0,求A的特征值,讨论A是否可对角化。
设二维非零向量a不是二阶方阵A的特征向量。 若A2a+Aa-6a=0,求A的特征值,讨论A是否可对角化。
admin
2019-09-29
22
问题
设二维非零向量a不是二阶方阵A的特征向量。
若A
2
a+Aa-6a=0,求A的特征值,讨论A是否可对角化。
选项
答案
由A
2
a+Aa-6a=0,得(A
2
+A-6E)a=0,因为a≠0,所以r(A
2
+A-6E)<2,从而∣A
2
+A-6E∣=0,即 ∣3E+A∣·∣2E-A∣=0,则∣3E+A∣=0或∣2E-A∣=0。 若∣3E+A∣≠0,则3E+A可逆,由(3E+A)(2E-A)a=0得(2E-A)a=0,即Aa=2a,与已知矛盾; 若∣2E-A∣≠0,则2E-A可逆,由(2E-A)(3E+A)a=0,得(3E+A)a=0,即Aa=-3a,与已知条件矛盾,所以有∣3E+A∣=0且∣2E-A∣=0,于是二阶矩阵A由两个特征值-3,2,故A可对角化。
解析
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考研数学二
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