设α1,α2,α3,α4线性无关,β1=2α1+α3+α4,β2=2α1+α2+α3,β3=α2-α4,β4=α3+α4,β5=α2+α3. (1)求r(β1,β2,β3,β4,β5); (2)求β1,β2,β3,β4,β5的一个最大无关组.

admin2019-03-21  32

问题 设α1,α2,α3,α4线性无关,β1=2α134,β2=2α123,β32-α4,β434,β523
(1)求r(β1,β2,β3,β4,β5);
(2)求β1,β2,β3,β4,β5的一个最大无关组.

选项

答案(1)β1,β2,β3,β4,β5对α1,α2,α3,α4的表示矩阵为 [*] 用初等行变换化为阶梯形矩阵: [*] 则r(β1,β2,β3,β4,β5)=r(C)=3. (2)记C的列向量组为γ1,γ2,γ3,γ4,γ5.则由(1)的计算结果知γ1,γ2,γ4是线性无关的.又 (β1,β2,β4)=(α1,α2,α3,α4)(γ1,γ2,γ4) 得到r(β1,β2,β4)=r(γ1,γ2,γ4)=3,β1,β2,β4线性无关,是β1,β2,β3,β4,β5的一个最大无关组.

解析
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