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(2001年)设L是一条平面曲线,其上任意一点P(χ,y)(χ>0)到坐标原点的距离,恒等于该点处的切线在y轴上的截距,且L经过点(,0). (1)试求曲线L的方程; (2)求L位于第一象限部分的一条切线.使该切线与L以及两坐标轴所围图形的
(2001年)设L是一条平面曲线,其上任意一点P(χ,y)(χ>0)到坐标原点的距离,恒等于该点处的切线在y轴上的截距,且L经过点(,0). (1)试求曲线L的方程; (2)求L位于第一象限部分的一条切线.使该切线与L以及两坐标轴所围图形的
admin
2021-01-19
32
问题
(2001年)设L是一条平面曲线,其上任意一点P(χ,y)(χ>0)到坐标原点的距离,恒等于该点处的切线在y轴上的截距,且L经过点(
,0).
(1)试求曲线L的方程;
(2)求L位于第一象限部分的一条切线.使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小.
选项
答案
(1)设曲线L过点P(χ,y)的切线方程为Y-y=y′(X-χ),令X=0,则得该切线在y轴上的截距为y-χy′由题设知 [*] 由L经过点([*],0),知C=[*],于是L的方程为 [*] (2)设第一象限内曲线y=[*]-χ
2
,在点P(χ,y)处切线方程为 [*] 它与χ轴及y轴交点分别为[*],所求面积为 [*] 令S′(χ)=0,解得χ=[*] 当0<χ<[*]时,S′(χ)<0;χ>[*]时,S′(χ)>0,因而χ=[*]是S(χ)在(0,[*] )内的唯一极小点,于是所求切线为 [*]
解析
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考研数学二
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