2. 考研
  3. 设三阶方阵A与B相似，且｜2E+A｜=0。已知λ1=1，λ2= —1是方阵B的两个特征值，则｜A+2AB｜= ________。

设三阶方阵A与B相似，且｜2E+A｜=0。已知λ1=1，λ2= —1是方阵B的两个特征值，则｜A+2AB｜= ________。

admin2019-05-14  27
问题 设三阶方阵A与B相似，且｜2E+A｜=0。已知λ1=1，λ2= —1是方阵B的两个特征值，则｜A+2AB｜= ________。
选项
答案18
解析 由｜2E+A｜=0，可得｜—2E—A｜=0，即λ= —2是A的一个特征值。
因A与B相似，且由相似矩阵具有相同的特征值可知，λ1=1，λ2= —1也是A的特征值，所以A、B的特征值均为λ1=1，λ2= —1，λ3= —2，则E+2B的三个特征值分别为3，—1，—3。从而可得｜A｜=λ1λ2λ3=2，｜E+2B｜=3×(—1)×(—3)=9，故
｜A+2AB｜=｜A(E+2B)｜=｜A｜.｜E+2B｜=18。
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考研数学一

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