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  3. (2005年)没F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，“MN”表示“M的充分必要条件是N”，则必有

(2005年)没F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，“MN”表示“M的充分必要条件是N”，则必有

admin2018-07-01  35
问题 (2005年)没F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，“MN”表示“M的充分必要条件是N”，则必有
选项 A、F(x)是偶函数f(x)是奇函数．
B、F(x)是奇函数f(x)是偶函数．
C、F(x)是周期函数f(x)是周期函数．
D、F(x)是单调函数f(x)是单调奇函数．
答案A
解析 解1  直接法  若F(x)是连续函数f(x)的原函数，且(x)是偶函数．则F(-x)=F(x)，式两端对x求导得
                        一F’(x)=F(x)
  即                    一f(一x)=f(x)
  故  f(x)为奇函数．
  反之，若f(x)为奇函数，则是f(x)的一个原函数．又
            
  则G(x)是偶函数，由于F(x)也是f(x)的原函数．则
                        F(x)=G(x)+C
    F(x)亦是偶函数，故应选(A)．
    解2  排除法  令f(x)=cosx，F(x)=sinx+1．显然f(x)是偶函数．但F(x)不是奇函数．所以(B)不正确；
    令F(x)=sinx+x，f(x)=cosx+1．显然f(x)是周期函数．但F(x)不是周期函数．故C不正确；
    令F(x)=x2，f(x)=2x显然f(x)是单调函数，但F(x)不是单调函数，则(D)不正确．故应选(A)．
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