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  3. 平面区域D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤2}，试估计[x(1+y)-(x2+y2)]dxdy的取值范围．

平面区域D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤2}，试估计[x(1+y)-(x2+y2)]dxdy的取值范围．

admin2022-07-21  30
问题 平面区域D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤2}，试估计[x(1+y)-(x2+y2)]dxdy的取值范围．
选项
答案令f(x，y)=x(1+y)-(x2+y2)，(x，y)∈D．由 [*] 解得驻点为(2/3，1/3)，进一步可以判定f(2/3，1/3)=1/3为f(x，y)极大值． 现求f(x，y)在边界上的极值，在线段x=0，0≤y≤2上，f(x，y)=-y2在0≤y≤2有-4≤f(x，y)≤0．在线段x=1，0≤y≤2上，f(1，y)=y-y2，由[*]=1-2y得驻点为y=1/2，且f(1，1/2)=1/4，又f(1，0)=0，f(1，2)=-2，故在x=1，0≤y≤2有-2≤f(x，y)≤1/4． 同理可以判定，在y=0，0≤x≤1上0≤f(x，y)≤1/4．在y=2，0≤x≤1上-4≤f(x，y)≤-2．综上所述f(x，y)在D的最大值、最小值分别为1/3，-4，即-4≤f(x，y)≤1/3．于是根据不等式性质，得 [*]
解析
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考研数学三

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