Ω是由x2+y2=z2与z=a(a＞0)所围成的区域，则三重积分(x2+y2)dv在柱面坐标系下累次积分的形式为 ( )

admin2019-02-23 31

问题 Ω是由x²+y²=z²与z=a(a＞0)所围成的区域，则三重积分

(x²+y²)dv在柱面坐标系下累次积分的形式为 ( )

选项 A、∫₀^πdθ∫₀^ardr∫_r^ar²dz
B、∫₀^2πdθ∫₀^ardr∫₀^ar²dz
C、∫₀^πdθ∫₀^ardr∫₀^ar²dz
D、∫₀^2πdθrdr∫_r^ar²dz

答案D

解析被积函数中出现x²+y²．积分区域的边界曲面方程中含有x²+y²．一般说来利用柱面坐标系计算三重积分较为简便，这是因为柱面坐标变换中有x²+y²=r²．
Ω在xOy面上的投影域D_xy={(x，y)}x²+y²≤a²}用极坐标可表示为D_rθ={(r，θ)｜0≤r≤a，0≤θ≤2π}．Ω的上、下边界曲面方程为z=a，z=r，故

=∫₀^2πdθ∫₀^ardr∫_r^ar²dz．

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