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求曲线积分I=∫L(y2+z2)dx+(z2+x2)dy+(x2+y2)dz,其中L是球面x2+y2+z2=2bx与柱面x2+y2=2ax(b>a>0)的交线(z≥O).L的方向规定为沿L的方向运动时,从z轴正向往下看,曲线L所围球面部分总在左边(如图10
求曲线积分I=∫L(y2+z2)dx+(z2+x2)dy+(x2+y2)dz,其中L是球面x2+y2+z2=2bx与柱面x2+y2=2ax(b>a>0)的交线(z≥O).L的方向规定为沿L的方向运动时,从z轴正向往下看,曲线L所围球面部分总在左边(如图10
admin
2017-11-13
21
问题
求曲线积分I=∫
L
(y
2
+z
2
)dx+(z
2
+x
2
)dy+(x
2
+y
2
)dz,其中L是球面x
2
+y
2
+z
2
=2bx与柱面x
2
+y
2
=2ax(b>a>0)的交线(z≥O).L的方向规定为沿L的方向运动时,从z轴正向往下看,曲线L所围球面部分总在左边(如图10.9).
选项
答案
若写出L的参数方程直接计算比较复杂,可考虑用斯托克斯公式来计算. 记L所围的球面部分为∑,按L的方向与右手法则,取∑的法向量朝上,先利用曲线方程简化被积函数,然后用斯托克斯公式,得 I=∫
L
(2bx-x
2
)dx+(2bx-y
2
)dy+2axdz [*] 注意,∑关于zx平面对称,被积函数1对y为偶函数,于是[*]dzdx=0.记∑在xy平面的投影区域为 D
xy
:(x-a)
2
+y
2
≤a
2
.因此I=2b[*]dxdy=2bπa
2
.
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/KtVRFFFM
0
考研数学一
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