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设A,B为同阶方阵。 (Ⅰ)若A,B相似,证明A,B的特征多项式相等; (Ⅱ)举一个二阶方阵的例子说明(I)的逆命题不成立; (Ⅲ)当A,B为实对称矩阵时,证明(Ⅰ)的逆命题成立。
设A,B为同阶方阵。 (Ⅰ)若A,B相似,证明A,B的特征多项式相等; (Ⅱ)举一个二阶方阵的例子说明(I)的逆命题不成立; (Ⅲ)当A,B为实对称矩阵时,证明(Ⅰ)的逆命题成立。
admin
2019-03-07
30
问题
设A,B为同阶方阵。
(Ⅰ)若A,B相似,证明A,B的特征多项式相等;
(Ⅱ)举一个二阶方阵的例子说明(I)的逆命题不成立;
(Ⅲ)当A,B为实对称矩阵时,证明(Ⅰ)的逆命题成立。
选项
答案
(Ⅰ)若A,B相似,那么存在可逆矩阵P,使P
-1
AP=N,故 |λE一B|=|λE-P
-1
AP|=|P
-1
λEP-P
-1
AP|=|P
-1
(λE一A)P|=|P
-1
|λE一A||P|=|λE一A|。 (Ⅱ)令 [*] 那么|λE-A|=λ
2
=|λE-B|。 假设A,B相似,则存在可逆矩阵P,使P
-1
AP=B=0。从而与A=PBP
-1
。矛盾,因此A与B不相似。 (Ⅲ)由A,B均为实对称矩阵知,A,B均相似于对角阵,设特征多项式的根都为λ
1
,…,λ
n
,则有A相似于 [*] 即存在可逆矩阵P,Q,使 [*] 于是(PQ
-1
)
-1
A(PQ
-1
)=B。由PQ
-1
为可逆矩阵知,A与B相似。
解析
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考研数学一
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