设α1=(1,3,5,—1)T,α2=(2,7,α,4)T,α3=(5,17,—1,7)T. 设a=3,α4是与α1,α2,α3都正交的非零向量,证明α1,α2,α3,α4可表示任何一个4维向量.

admin2019-01-29  19

问题 设α1=(1,3,5,—1)T,α2=(2,7,α,4)T,α3=(5,17,—1,7)T
设a=3,α4是与α1,α2,α3都正交的非零向量,证明α1,α2,α3,α4可表示任何一个4维向量.

选项

答案只用证明α1,α2,α3,α4线性无关,此时对任何4维向量α,有α1,α2,α3,α4,α线性相关,从而α可以用α1,α2,α3,α4线性表示. 方法:由(Ⅱ)知,当a=3时,α1,α2,α3线性无关,只用证明α4不能用α1,α2,α3线性表示. 用反证法,如果α4能用α1,α2,α3线性表示,设α4=c1α1+c2α2+c3α3,则 (α4,α4)=(α4,c1α1+c2α2+c3α3)=c14,α1)+c24,α2)+c34,α3)=0,得α4=0,与α4是非零向量矛盾.

解析
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