给出如下5个命题: (1)若不恒为常数的函数f(x)在(一∞,+∞)内有定义,且x0≠0是f(x)的极大值点,则一x0必是一f(一x)的极大值点; (2)设函数f(x)在[a,+∞)上连续,f"(x)在(a,+∞)内存在且大于零,则F(x)

admin2016-06-25  36

问题 给出如下5个命题:
    (1)若不恒为常数的函数f(x)在(一∞,+∞)内有定义,且x0≠0是f(x)的极大值点,则一x0必是一f(一x)的极大值点;
    (2)设函数f(x)在[a,+∞)上连续,f"(x)在(a,+∞)内存在且大于零,则F(x)=在(a,+∞)内单调增加;
    (3)若函数f(x)对一切x都满足xf"(x)+3x[f’(x)]2=1一e一x,且f’(x0)=0,x0≠0,则f(x0)是f(x)的极大值;
    (4)设函数y=y(x)由方程2y3一2y2+2xy一x2=1所确定,则y=y(x)的驻点必定是它的极小值点;
    (5)设函数f(x)=xex,则它的n阶导数f(n)(x)在点x0=一(n+1)处取得极小值.
    正确命题的个数为    (    )

选项 A、2
B、3
C、4
D、5

答案B

解析 对上述5个命题一一论证.
    对于(1),只要注意到:若f(x)在点x0取到极大值,则一f(x)必在点x0处取到极小值,故该结论错误;
    对于(2),对任意x>a,由拉格朗日中值定理知,存在ξ∈(a,x)使f(x)一f(a)=f’(ξ)(x一a),则
   
    由f"(x)>0知,f’(x)在(a,+∞)内单调增加.因此,对任意的x与ξ,a<ξ<x,有f’(x)>f’(ξ),从而由上式得F’(x)>0,所以函数F(x)在(a,+∞)内单调增加,该结论正确;
    对于(3),因f’(x0)=0,故给定的方程为f"(x0)=,显然,不论x0>0,还是x0<0,都有f"(x0)>0,于是由f’(x0)=0与f"(x0)>0得f(x0)是f(x)的极小值,故该结论错误;
    对于(4),对给定的方程两边求导,得
3y2y’一2yy’+xy’+y一x=0,    ①
再求导,得
    (3y2一2y+x)y"+(6y一2)(y’)2+2y’=1.    ②
    令y’=0,则由式①得y=x,再将此代入原方程有2x3一x2=1,从而得y=y(x)的唯一驻点x0=1,因x0=1时y0=1,把它们代入式②得y"|(1,1)>0,所以唯一驻点x=1是y=y(x)的极小值点,该结论正确;
    对于(5),因为是求n阶导数f(n)(x)的极值问题,故考虑函数f(x)=xex的n+1阶导数f(n+1)(x),由高阶导数的莱布尼茨公式得
    f(n)(x)=x(ex)(n)+n(ex)(n一1)=(x+n)ex
    f(n+1)(x)=[x+(n+1)]ex;f(n+2)(x)=[x+(n+2)]ex一(n+1)
    令f(n+1)(x)=0,得f(n)(x)的唯一驻点x0=一(n+1);又因f(n+2)(x0)=e一(n+1)>0,故点x0=一(n+1)是n阶导数f(n)(x)的极小值点,且其极小值为f(n)(x0)=一e一(n+1),该结论正确.
    故正确命题一共3个,答案选择(B).
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