设函数f(x)具有二阶导数,g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x,则在区间[0,1]上( )

admin2018-04-14  36

问题 设函数f(x)具有二阶导数,g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x,则在区间[0,1]上(    )

选项 A、当f’(x)≥0时,f(x)≥g(x)。
B、当f’(x)≥0时,f(x)≤g(x)。
C、当f"(x)≥0时,f(x)≥g(x)。
D、当f"(x)≥0时,f(x)≤g(x)。

答案D

解析 方法一:令F(x)=g(x)-f(x)=f(0)(1-x)+f(1)x-f(x),则F(0)=F(1)=0,

F’(x)=-f(0)+f(1)-f’(z),F"(z)=-f"(x),
若f"(x)≥0,则F"(x)≤0,曲线F(x)在[0,1]上是向上凸的。又F(0)=F(1)=0,所以当x∈[0,1]时,F(x)≥0,从而g(x)≥f(x)。故选D。
方法二:本题采用第一条思路更简便,首先将函数变形为
g(x)=[f(1)-f(0)]x+f(0),
易知直线g(x)过曲线f(x)上的两个点(0,f(0)),(1,f(1)),则直线g(x)是曲线f(x)上的一条割线,当f"(z)≥0时,曲线f(x)为凹函数,连接曲线上任意两点的直线在曲线的上方,故g(x)≥f(x),故选D。
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