设a为常数,f(x)=aex一1一x一,则f(x)在区间(一∞,+∞)内的零点个数情况为 ( )

admin2019-02-01  40

问题 设a为常数,f(x)=aex一1一x一,则f(x)在区间(一∞,+∞)内的零点个数情况为    (    )

选项 A、当a>0时f(x)无零点,当a≤0时f(z)恰有一个零点
B、当a>0时f(x)恰有两个零点,当a≤0时f(x)无零点
C、当a>0时f(x)恰有两个零点,当a≤0时f(x)恰有一个零点
D、当a>0时f(x)恰有一个零点,当a≤0时f(x)无零点

答案D

解析 本题考查一元函数微分学的应用,讨论函数的零点问题.
    令g(x)=f(x)e一x=一a一(1+x+)e一x,由于e一x>0,g(x)与f(x)的零点完全一样,又g’(x)=≥0,且仅在一点x=0等号成立,故g(x)严格单调增,所以g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点.
    当a>0时,f(一∞)<0,f(+∞)>0,由连续函数零点定理,f(x)至少有一个零点,至少、至多合在一起,所以f(x)正好有一个零点.
    当a≤0,f(x)e一x=a一(1+x+)e一x<0,f(x)无零点.
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