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  3. 已知二次型f(x1，x2，x3)=2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a＞0)通过正交变换化成标准形=y12+2y22+5y32，求参数a及所用的正交变换矩阵．

已知二次型f(x1，x2，x3)=2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a＞0)通过正交变换化成标准形=y12+2y22+5y32，求参数a及所用的正交变换矩阵．

admin2019-03-07  25
问题 已知二次型f(x1，x2，x3)=2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a＞0)通过正交变换化成标准形=y12+2y22+5y32，求参数a及所用的正交变换矩阵．
选项
答案二次型f的矩阵为 [*] 特征方程为 ｜λI一A｜=[*]=(2—2)(λ2—6λ+9一a2)=0 A的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=5． 将λ=1(或λ=5)代入特征方程，得a2一4=0，a=±2，又a＞0，故a=2．这时， [*] λ1=1时，由(J—A)X=0，即 [*] 解得对应的特征向量 ξ1=[*] λ2=2时，由(2I—A)X=0，解得对应的特征向量为 ξ2[*] λ3=5时，由(5I—A)X=0，解得对应的特征向量为 ξ3=[*] 将ξ1，ξ2，ξ3单位化，得 e1=[*] 故所用的正交变换矩阵可取为 T=[e1 e2 e3]=[*]
解析
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考研数学一

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