设f(x)在区间[0，1]上连续，证明：∫01f(x)dx∫x1f(y)dy=[∫01f(x)dx]2．

admin2021-11-09 33

问题设f(x)在区间[0，1]上连续，证明：∫₀¹f(x)dx∫_x¹f(y)dy=

[∫₀¹f(x)dx]²．

选项

答案先将累次积分表示成二重积分，则有 I=∫₀¹f(x)dx∫_x¹f(y)dy=[*]f(x)f(y)dxdy，其中D={(x，y)｜0≤x≤1，x≤y≤1}，如图8．28，它与D’={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤x}关于y=x对称．于是 I=[*]f(x)f(y)dxdy， 2I=[*]=∫₀¹dx∫₀¹f(x)f(y)dy =∫₀¹f(x)dx∫₀¹f(y)dy=[∫₀¹f(x)dx]²，因此，I=[*][∫₀¹f(x)dx]²． [*]

解析

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